中学3年生の定期テスト対策【数学編】展開の公式マスター編

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中学3年生の数学で、まずはじめに勉強するのが「展開」

この単元については、理解しておくべきルールがとても少ないので、数学が苦手であっても「これならデキる」と感じる生徒が多いのです。

 

ですので、もしあなたがこれまで数学の定期テストの点数が思うようにとれていなくても、80点以上の点数を叩き出すことも可能なのです。

 

そのために大切なのは「公式を使いこなせるようになること」

 

今回は、展開の基本的なルールを説明した後、公式の成り立ちや使いこなす方法について説明します。

中学生・数学の定期テスト対策【展開の方法】

多項式と単項式の掛け算・割り算

まずは、この方法から説明します。

 

さっそくですが、問題です。

 

次の式を展開しなさい

①2a(3x+y)

②(8xy-4y)÷2y

 

この問題を解くために、ある法則を使用することが出来るのです。

 

それは、「分配法則」

 

①であれば、2aを3xにもyにも掛け合わせます。

②であれば、8xyを2yで割るだけではく、-4yも2yで割るのです。

 

ですので、

①2a(3x+y)

=6ax+2ay

 

②(8xy-4y)÷2y

=4x-2y

 

となるのです。

 

すでに気づいているかもしれませんが、中1・中2の頃に習った文字式の掛け算・割り算の方法を知っていれば、ラクラク解けるのです。

 

ですので、もし「文字式の計算方法をあまりよく分かっていない・・・」ということであれば、その方法を復習しておきましょう。

文字式の計算方法

 

多項式どうしの掛け算

次は、多項式どうしの掛け算・割り算です。

 

それでは、問題です。

問)(2x+5y)(3a-7b)

 

計算の手順は、以下の方法です。

 

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今回の問題であれば

①2x×3a

②2x×(-7b)

③5y×3a

④5y×(-7b)

 

という手順で計算すれば、答えにたどり着きます。

 

ですので、

(2x+5y)(3a-7b)

=6ax-14bx+15ay-35by

 

となります。

 

(x+a)(x+b)を展開するには

ここからは、「展開の公式」を使って計算すればスムーズに解けるものについて説明します。

 

次の式を展開してみましょう。

①(x+2)(x+5)

②(x-3)(x+6)

 

まず、①ですが、先ほどの方法で展開すると

(x+2)(x+5)

=x+2x+5x+10

=x+7x+10

 

②であれば

(x-3)(x+6)

=x2+6x-3x-18

=x2+3x-18

 

となります。

 

いずれも、ある法則が成り立つのです。

 

それは、

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

です。

 

もう1度、①と②の式を見てみましょう。

①(x+2)(x+5)

②(x-3)(x+6)

 

①であれば、

a+b(2+5)=7

a×b(2×5)=10

 

②であれば、

a+b(-3+6)=3

a×b(-3×6)=-18

 

となります。

 

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

この公式を理解しておくと、「速く、正確に」計算することができるようになりますよ。

 

理解しておくと役に立つ展開の公式は?

先ほど紹介した公式以外でも、

  • (a+b)=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2
  • (a-b)=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2
  • (a+b)(a-b)=a2-b2

 

この3つの公式も、使いこなせるようになっておくと計算がスムーズにできます。

 

この公式を使った問題は、以下のようなものです。

一度、自分で解いてみましょう。

 

①(6a+3b)2

②(7x-3y)2

③(9x+2)(9x-2)

 

では、解き方を説明します。

①(6a+3b)2

=(6a+3b)(6a+3b)

= 36a2+36ab+9b2

 

②(7x-3y)2

=(7x-3y)(7x-3y)

= 49x2-42xy+9y2

 

③(9x+2)(9x-2)

=81x2-4

 

③の公式を知っておくと、こんな問題が出ても一瞬で解けます。

問)104×96を工夫して計算しなさい

 

では、どうやって計算すれば良いのでしょうか?

少し考えてみてください。

・・・・・

 

・・・・・

 

・・・・・

 

では、解き方を説明します。

104×96

=(100+4)(100-4)

=10000-16

=9984

 

実は、この手の問題は、定期テストでもよく出題されます。

ですので、確実に解けるようにしておきましょう。

 

まとめ

今回は、中学3年生の1学期で学習する展開の方法について説明しました。

この単元を1学期に学習するということは、1学期の中間(期末)テストに出題されるということです。

高校入試の合否判定の重要な材料となる通知表の成績を上げるためにも、定期テストでは何が何でも高得点を取っておきたいところです。

 

そのためには、公式を理解して満足するのではなく、学校のワークや市販の問題集を使用して、必ず計算の練習をしておきましょう。

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