数学の定期テスト対策【中3編】因数分解はこれでバッチリ!

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前回の記事では、中学3年生で習う「展開」について説明しました。

【前回の記事はこちら】

中学3年生の定期テスト対策【展開の公式マスター編】

 

今回は、展開の方法の後に学習する「因数分解」の方法です。

たとえ数学が苦手であったとしても、「なるほど、そうやって解けばいいんだ!」と感じてもらえるように、手順を1つずつ説明しています。

 

因数分解は、定期テストだけでなく高校受験の問題においても、出題されることが多いです。

ですので、今のうちに解き方を確実に理解しておきましょう。

 

中学3年生の定期テスト勉強法【因数分解編】

そもそも「因数分解」とは何なのか?

まずは「因数」について説明します。

因数とは、掛け算の式の中に出てくる、1つ1つの数値のことです。

 

例えば、

3×5であれば、3と5が因数

となるのです。

 

それを「分解」するというのは

ある式を、因数に分けるということなのです。

とはいえ、チョット意味が分かりづらいですよね。

 

例えば、2a+4abを因数分解するとします。

そうすると2a(1+2b)となります。

これを別の式に置き換えると、2a×(1+2b)となり、2aと1+2bは「因数」となります。

 

このように、ある式を因数に分けることを「因数分解」というのです。

 

もし、「ややこしい」と感じるのであれば、「展開の逆バーション」と覚えておいてもイイですよ。

 

因数分解の方法 その1

それでは、実際に問題を通して因数分解の方法を説明していきます。

 

次の式を因数分解してみましょう

①5a-15b+20c

②4x―12xy

・・・・・

 

・・・・・

 

・・・・・

 

このような式の場合、「それぞれの項で、共通で割れるものがあるかどうか」を探しましょう。

そうすると、①であれば、②であれば4xが共通して割れるものになります。

これを、先頭に置くのです。

 

ですので、

①5a-15b+20c

=5(a-3b+4c)

 

②4x―12xy

=4x(x―3y)

 

となります。

 

因数分解の方法 その2

次に説明するのは「それぞれの項の中から、共通して割ることが出来る数値が見つけられない」式を因数分解する方法です。

 

では、問題にチャレンジしてみましょう。

 

次の式を因数分解しなさい

①xー5x+6

②x+7x+10

・・・・・・

 

・・・・・・

 

・・・・・・

 

このような問題の場合の考え方ですが、

①であれば「足して-5、掛けて6になる2つの数」

②であれば「足して7、掛けて10になる2つの数」

を探していけばよいのです。

 

まずは、①から解説します。

「足して-5、掛けて6になる2つの数」は、-2-3です。

(-2)+(-3)=-5

(-2)×(-3)=6 となるからです。

 

①xー5x+6

=(x-2)(x-3)

 

続いて、②です。

「足して7、掛けて10になる2つの数」は、5です。

 

ですので、

②x+7x+10

=(x+2)(x+5)

 

となります。

答えを展開してみて、元の式になっていればOKです。

 

因数分解の方法 その3【公式編】

因数分解と、展開と同様に「公式」が存在します。

これを使いこなせるようになれば、計算スピードが上がり、ミスを減らすことが出来ます。

【使いこなせると便利な公式】

  • a2+2ab+b2=(a+b)
  • a2-2ab+b2=(a-b)
  • a2-b2=(a+b)(a-b)

この3つです。

 

実際に、この公式をつかって以下の式を因数分解してみましょう。

①x-16x+64

②4x+20x+25

③x-9

・・・・・

 

・・・・・

 

・・・・・

①に関しては、「足してー16、掛けて64になる2つの数」を探して解くことも出来ます。

 

もし、先ほど紹介した公式を使うのであれば、先頭後ろに注目です。

x、xとxを掛け合わせた数値で、64は8と8を掛け合わせた数値です。

ですが、真ん中を見ると「-16」となっているため、-8と-8を掛け合わせたと考えましょう。

 

x-16x+64

=(x-8)

 

②は、先頭の4xは、2xと2xを掛け合わせた数で、後ろの25は、5と5を掛け合わせた数です。

 

4x+20x+25

=(2x+5)2

 

③は、

a2-b2=(a+b)(a-b)

この公式を使えば一瞬で解けちゃいます。

xは、xを掛け合わせ、-9は、3とー3を掛け合わせています。

 

ですので、

x-9

=(x+3)(x-3)

となります。

 

因数分解の方法【応用編】

ここからは「応用編」ですが、ここまで説明した因数分解の方法を使って問題を解くことに、変わりはありません。

 

あともうひと踏ん張りです。

定期テストで80点を超えるためにも、頑張りましょう。

それでは、説明を再開します。

 

次の式を因数分解してみましょう。

2x+16x+30

・・・・・

 

・・・・・

 

・・・・・

実は、この問題を解くためには

「それぞれの項で、共通で割れるもの」を先頭に置いた後に、もう1度因数分解する必要があるのです。

 

共通して割ることが出来る数値は「2」ですね。

これを先頭におくと、

2(x+8x+15)

となります。

 

その後、x+8x+15を因数分解します。

 

ですので、

 2x+16x+30

2(x+8x+15)

2(x+3)(x+5)

 

となります。

 

それでは、最後の問題です。

問)96-42 を計算しなさい。

この式を見た瞬間、「因数分解の公式を使える」と気づくことが出来れば、早く解き終えることが出来るのです。

 96-4

=(96+4)(96-4)

=100×92

=9200

 

これで、完成です。

 

因数分解の方法を理解するには、展開の方法も理解しておく必要があります。

どちらも、1学期の定期テストで必ず出題される内容です。

最低でも80点を取ることが出来るように、今回説明した内容を理解して、学校の問題集などを使って、解く練習もしておきましょう。

 

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