数学の定期テスト勉強法【中1】方程式は本質をつかめば大丈V!

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中学1年生が、「数学嫌い(苦手)」になるきっかけとなる単元と言えば「方程式」

「計算しているうちに、何が何だか分からなくなる」

「文章題が出たら、もう解けない・・・」

このように考えている中学生が、たくさんいます。

 

ですが、安心してください。

最初は難しく感じるかもしれませんが、「本質(本当に大事な部分)」を理解しておけば、苦手意識を吹き飛ばすことが出来るのです。

そうすれば、もちろん定期テストで80点は余裕で取れるようになり、数学が得意なまま、2学期を迎えられます。

 

今回は、「そもそも方程式とは?」ということから説明を始めます。

その後、方程式の解き方を1つずつ説明していきます。

 

中学1年生の定期テスト勉強対策【方程式】

方程式とは(本質編)

では、方程式とは一体どんな式なのでしょうか?

それは、

左辺と右辺が同じ数値になる式(「左辺=右辺」)

なのです。

 

左辺と右辺を同じにするために、与えられた文字(多くの場合はx)にどの数を入れればよいのかを考えることを「方程式を解く」と言います。

 

例えば、

x+3=5

この場合、xにを入れれば、左辺と右辺が同じになるわけです。

「方程式は、左辺と右辺が同じになる」

このことを理解しておくと、方程式を解くときに惑わされずに済むのです。

 

方程式の解き方(整数編)その1

次の方程式を解きなさい

x-2=7

 

最終的に「x」に当てはまる数値を求めるのが、方程式を解くことです。

この場合であれば、

x-2=7

x=7+2

x=9

となります。

 

「エ、どうしてマイナス2を移動させると、プラス2になるの?」と思ったかもしれません。

このような疑問を持つことは、本当に大切なことです。

 

一体なぜなのか、1分間考えてみてください。

・・・・・

 

・・・・・

 

・・・・・

 

それでは、説明しますね。

 

x-2=7

x-2+2=7+2

x=7+2

 

このように、左辺にも2を加えていたのです。

結果的に、マイナス2を移動させて符号を変えた場合と同じになるのです。

 

ちなみに、ある数値を右辺から左辺(あるいは左辺から右辺)に移動させることを「移項」と言います。

また、「移行した場合は符号が変わる」という原則も大切なポイントです。

 

ここで、もう1つ注意しておきたいことがあります。

時々、途中の計算をこのように書く生徒がいます。

 

x-2=7

=x=7+2

=x=9

 

どこがマズいか、気づきましたか?

 

これだと

x-2=7=x=7+2=x=9

という意味になってしまい本来、異なるものが同じものだという意味になってしまうのです。

「7」と「9」は、同じではありませんね。

 

これまで習ってきた計算の途中式を書くときのように、左側に「=」を書いてはいけないのです。

もし書いてしまうと、「左辺=右辺」という方程式の原則が成り立たなくなってしまいます。

このことを、頭に入れておきましょう。

 

方程式の解き方(整数編)その2

次の方程式を解きなさい

3x=15

 

方程式というのは「左辺=右辺」なわけですから、xに何を当てはめれば左辺と右辺が同じになるのかを考えれば良いわけです。

この場合であれば、「x=5」とすぐにわかるでしょうが、方程式の解き方についても解説していきます。

 

実は、「●x=○」のように、xに何かしらの数が掛けられている場合は、両辺を●で割ればよいのです。

 

3x=15

3x÷3=15÷3

x=5

となります。

 

では、

4x=15

この方程式を解いてみましょう。

・・・・・

 

・・・・・

 

・・・・・

 

15を4で割り切ることはできませんね。

この場合は、答えを分数で表せばよいのです。

 

 

4x=15

4x÷4=15÷4

$$x=\frac{15}{4}$$

これで、OKです。

 

方程式の問題にチャレンジしよう(整数編)

①4x+7=2x―5

②2(x+5)=9+7x

 

ここで、解き方を確認しておきます。

・xを左辺に集める

・移項するときは、符号が変わる

・xに何らかの数が掛けられていれば、最終的に両辺をその数で割る

このルールに従って、解を考えてみましょう。

①4x+7=2x-5

4x-2x=-5-7

2x=-12

x=-6

xにー6を代入してみると、左辺と右辺がー17になりますね。

 

②2(x+5)=9+7x

2x+10=9+7x

2x-7x=9-10

-5x=-1

$$x=\frac{1}{5}$$

3

 

小数の方程式

続いては、小数の方程式の計算方法をお伝えします。

「ゲゲッ!小数かよ」と思ったあなた、驚かなくても大丈夫ですよ。

方程式の本質である「左辺=右辺」を理解しておけば、アッサリと解けます。

 

(例)

0.5x+1.4=0.3x-7

このまま移項して計算するのは、メンドクサイですね。

では、どうすれば解きやすくなるのでしょうか?

・・・・・

・・・・・

・・・・・

全て整数にすれば良いのです。

方程式というのは「左辺=右辺」で成り立っているわけですから、左辺を10倍した場合、右辺も10倍すれば良いのです。

0.5x+1.4=0.3x-7

5x+14=3x-70

5x-3x=-70-14

2x=-84

x=-42

 

ここで、大切なことをお伝えします。

それは、1つの項を10倍した場合、すべての項を10倍する必要があります。

 

0.5x+1.4=0.3x-7

この方程式を解くときに

5x+14=3x-7

といったように、整数をそのままにしてしまうミスが目立ちます。気をつけましょう。

 

もう1つ、注意点があります。

 

0.5(2x+5)=0.7

この場合は、左辺を右辺を10倍すると

5(2x+5)=7

となります。

 

このとき、(2x+5)を(20x+50)としてはいけません。

なぜなら、そうしてしまうと

5(20x+50)=7

となってしまい、左辺だけ100倍することになってしまうからです。

 

分数の方程式

(例)

$$\frac{1}{5}x+2=x-\frac{2}{3}$$

ここまで何度も繰り返してきたように、左辺と右辺が同じになるのが方程式の本質です。

ということは、小数の時と同じように、左辺と右辺に同じ数を掛けても良いのです。

 

この式の場合であれば、すべての項に15を掛ければ、整数になります。

$$\frac{1}{5}x+2=x-\frac{2}{3}$$

3x+30=15x-10

3x-15x=-10-30

-12x=-40

$$x=\frac{40}{12}=\frac{10}{3}$$

※約分を忘れないようにしましょう。

 

方程式の文章題

最後に、文章題を解くときに、どのように考えればよいのかをお伝えします。

例えば、このような問題があったとします。

 

1個80円のレモンと、1個100円のリンゴを合わせて7個買うと、代金は640円でした。

レモンとリンゴを、それぞれ何個買ったでしょうか?

 

問題文を見たあと、分かっていることをドンドン書き出していくことが大切です。

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絵や図などを書き出してから、式を考えてみましょう。

今回であれば、1個80円のレモンをx個、1個100円のリンゴを(7-x)個買ったときの代金が、640円です。

 

(式)

80x+100(7-x)=640

80x+700-100x=640

80x-100x=640-700

-20x=-60

x=3

 

レモンをxと置いたので、

レモン 3個  リンゴ 4個

となります。

 

  • 何をxと置くのか

(今回であれば、レモンをxと置く)

  • 何と何が同じ数値なのか

(今回であれば、1個80円のレモンをx個、1個100円のリンゴを(7-x)個を買ったときの代金=640円)

この2点を意識することが、大切です。

 

まとめ

今回は、方程式の仕組みを説明した後、方程式の解き方について説明しました。

「本質をつかむ」ことは、数学の勉強において何よりも大切なことです。

それができれば、「考える力」を伸ばすことが出来るのはもちろん、学校のテストの点数もアップします。

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