数学の定期テスト対策【平方根の計算方法を理解しよう】

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前回は、「平方根とは何なのか」ということについて説明しました。

この内容は、平方根の計算をするための土台となるので、重要な内容です。

平方根とはどのようなものなのか?【基本マスター編】

 

今回は、いよいよ計算編です。

平方根の場合は、掛け算・割り算の場合と、足し算・引き算の場合とでは、ルールが異なります。

とはいえ、ルールをしっかり理解して、問題集などで練習をすれば、計算で満点取ることも可能です。

そのためにも、ここで紹介するルールを、1つずつ確実に自分のものにしていきましょう。

 

中学3年生の定期テスト対策【数学・平方根の計算編】

平方根の掛け算・割り算の方法(基本編)

まずは、掛け算・割り算の基本ルールを確認しましょう。

$\sqrt{a}$×$\sqrt{b}$=$\sqrt{ab}$

($\sqrt{a}$)²=a

$\sqrt{a}$÷$\sqrt{b}$=$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

 

このことを踏まえて、以下の問題を考えてみましょう。

$\sqrt{3}$×$\sqrt{7}$

$\sqrt{15}$÷$\sqrt{5}$

③$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}}$

($\sqrt{6}$)²

・・・・・

・・・・・

・・・・・

では、答えを言います。

$\sqrt{3}$×$\sqrt{7}$=$\sqrt{21}$

②$\sqrt{15}$÷$\sqrt{5}$=$\sqrt{3}$

③$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}}$=$\sqrt{7}$

($\sqrt{6}$)²=

 

出来たでしょうか?

このあたりは、確実に出来ておいてほしい問題です。

では、次に進みましょう。

 

平方根を簡単にする方法

続いては、平方根を簡単にする方法を説明します。

「それ、どういうこと?」と思ったかもしれませんが、そこまで難しくありませんので安心してください。

「簡単にする」というのは、

a$\sqrt{b}$

この形のように、平方根の前に整数を置くことです。

 

例えば、

$\sqrt{18}$=$\sqrt{2}$

$\sqrt{40}$=$\sqrt{10}$

という形にすることです。

 

a$\sqrt{b}$の形にするために必要なのは「素因数分解」の方法を理解しておくことです。

18=3×3×2となり、2つある数(この場合であれば)を平方根の前に置き、残った2を根号の中に書きます。

40=2×2×2×5となり、2つある数(この場合であれば)を平方根の前に置き、残った10を根号の中に書きます。

 

その結果、

$\sqrt{18}$=$\sqrt{2}$

$\sqrt{40}$=$\sqrt{10}$

となります。

 

平方根の掛け算・割り算の方法(標準編)

では、問題です。

①4$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$

②9$\sqrt{15}$÷$\sqrt{3}$

 

この場合、整数は整数どうし、平方根の中の数は平方根の中の数どうしで掛けたり割ったりします。

①の場合は、

4×5=20

$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$

となるため、

$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=20$\sqrt{6}$

 

②の場合は、

9÷3=3

$\sqrt{15}$÷$\sqrt{3}$=$\sqrt{5}$

となるため、

$\sqrt{15}$÷$\sqrt{3}$=$\sqrt{5}$

となります。

 

次は、少しレベルが上がります。

①$\sqrt{55}$×$\sqrt{15}$

②$\sqrt{37²ー13²}$

 

ゲゲ、何だか難しそうだなと感じたかもしれませんが、これまで習ってきた知識を使いこなせば楽勝です。

 

①ですが、そのまま掛け算をしてしまうと

$\sqrt{825}$

となり、素因数分解をするのが大変です。

ならば、素因数分解を先にやってしまえばよいのです。

$\sqrt{55}$×$\sqrt{15}$

$\sqrt{5×11}$×$\sqrt{5×3}$

$\sqrt{5×11×5×3}$

=5$\sqrt{33}$

 

②の場合は

$\sqrt{37²ー13²}$

$\sqrt{(37+13)(37-13)}$

$\sqrt{50×24}$

$\sqrt{2×5×5×2×2×2×3}$

=20$\sqrt{3}$

 

となります。

このような問題が解けるようになると、定期テストで80点を取れるようになってきます、

 

平方根の足し算・引き算の方法

足し算・引き算の場合は、

ルートの中の数が同じものであれば、足したり引いたりできる

ルートの中の数が違っている場合は、足したり引いたりできない

というルールがあります。

 

では、問題です。

①5$\sqrt{3}$+3$\sqrt{2}$$\sqrt{3}$+7$\sqrt{2}$

$\sqrt{63}$-2$\sqrt{5}$$\sqrt{45}$+2$\sqrt{7}$

・・・・・

・・・・・

・・・・・

・・・・・

①の場合は

$\sqrt{3}$+3$\sqrt{2}$$\sqrt{3}$+7$\sqrt{2}$

=5$\sqrt{3}$$\sqrt{3}$+3$\sqrt{2}$+7$\sqrt{2}$

=4$\sqrt{3}$+10$\sqrt{2}$

 

2の場合は、$\sqrt{63}$を3$\sqrt{7}$、$\sqrt{45}$を3$\sqrt{5}$に置きかえます。

$\sqrt{63}$-$\sqrt{5}$$\sqrt{45}$+2$\sqrt{7}$

=3$\sqrt{7}$+2$\sqrt{7}$-2$\sqrt{5}$+3$\sqrt{5}$

=5$\sqrt{7}$$\sqrt{5}$

となります。

 

【因数分解の復習をしたい人はコチラ】

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